요청하신 시그마의 거듭제곱 합 공식을 유도하는 과정을 두 가지로 정리해 드리겠습니다. 먼저 k의 제곱의 합(∑k^2)을 전개·축차대입 방식으로 증명하고, 같은 아이디어로 k의 네제곱(∑k^4)을 유도하는 방법도 보이겠습니다.
- ∑_{k=1}^n k^2의 증명 (방법: (k+1)^3 − k^3의 전개를 이용한 축차합)
- 출발식: (k+1)^3 − k^3 = 3k^2 + 3k + 1.
- k = 1부터 n까지 이 식을 모두 더하면 좌변은 (2^3−1^3) + (3^3−2^3) + ... + ((n+1)^3 − n^3)로 모든 중간항이 소거되어 (n+1)^3 − 1^3가 됩니다.
- 우변은 ∑_{k=1}^n (3k^2 + 3k + 1) = 3 ∑k^2 + 3 ∑k + ∑1 = 3 ∑k^2 + 3·(n(n+1)/2) + n.
- 따라서 (n+1)^3 − 1 = 3 ∑_{k=1}^n k^2 + 3·(n(n+1)/2) + n.
- 이를 ∑k^2에 대해 풀면:
3 ∑k^2 = (n+1)^3 − 1 − 3·(n(n+1)/2) − n.
계산을 정리하면 ∑_{k=1}^n k^2 = n(n+1)(2n+1)/6.
- 결론: ∑_{k=1}^n k^2 = n(n+1)(2n+1)/6.
- ∑_{k=1}^n k^4의 증명 (방법: (k+1)^5 − k^5의 전개를 이용한 축차합)
- 출발식: (k+1)^5 − k^5 = 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1.
- k = 1부터 n까지 더하면 좌변은 (n+1)^5 − 1^5.
- 우변은 ∑_{k=1}^n (5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1)
= 5 ∑k^4 + 10 ∑k^3 + 10 ∑k^2 + 5 ∑k + n.
- 이미 알고 있는 아래의 합 공식을 대입합니다:
∑k = n(n+1)/2,
∑k^2 = n(n+1)(2n+1)/6,
∑k^3 = [n(n+1)/2]^2.
- 그러면 (n+1)^5 − 1 = 5 ∑k^4 + 10·[n(n+1)/2]^2 + 10·[n(n+1)(2n+1)/6] + 5·[n(n+1)/2] + n.
- 위 식을 ∑k^4에 관해 풀어 정리하면 (계산을 전개·약분하여 정리):
∑_{k=1}^n k^4 = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n−1)/30.
- 결론: ∑_{k=1}^n k^4 = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n−1)/30.
참고: 위 방법은 일반적으로 (k+1)^{m+1} − k^{m+1}의 전개를 이용해 ∑k^m을 반복적으로 구하는 표준 방법입니다. 높은 차수도 같은 방식으로 기존에 구한 낮은 차수 합들을 이용해 유도할 수 있습니다.
참고 자료: