물론입니다. Σ_{k=1}^n k^4(=1^4+2^4+...+n^4)의 공식을 (전개·망라법으로) 증명하겠습니다.
시작 식: (k+1)^5 − k^5 를 전개하면 (k+1)^5 − k^5 = 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1.
양변을 k=1 부터 n 까지 더하면 좌변은 망라하여 소거되어 텔레스코프(계단식) 되므로 (n+1)^5 − 1 = 5 Σ_{k=1}^n k^4 + 10 Σ_{k=1}^n k^3 + 10 Σ_{k=1}^n k^2 + 5 Σ_{k=1}^n k + Σ_{k=1}^n 1.
이미 알려진 합 공식들을 대입합니다.
이를 2)의 식에 대입하고 Σ_{k=1}^n k^4에 대해 풀면: 5 Σ k^4 = (n+1)^5 − 1 − 10·[n(n+1)/2]^2 − 10·[n(n+1)(2n+1)/6] − 5·[n(n+1)/2] − n.
양변을 5로 나누어 정리하면 최종적으로 Σ_{k=1}^n k^4 = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n−1) / 30.
간단한 확인: n=1이면 우변 = 1, n=2이면 우변 = 17로 실제 합과 일치합니다. 따라서 위 공식이 성립합니다. 참고 자료