주어진 이차함수 y = -2분의1x제곱 + 3x + c의 y값 중 자연수가 3개일 때, 상수 c의 값의 범위를 구해보겠습니다.
이차함수의 그래프는 포물선의 형태를 가지며, a의 값에 따라서 아래로 볼록한 그래프( a > 0) 또는 위로 볼록한 그래프( a < 0)가 됩니다.
주어진 이차함수에서 a = -2분의1이므로, 그래프는 위로 볼록한 포물선입니다.
또한, 이차함수의 그래프는 y축과 만나는 점의 y좌표를 y절편이라고 합니다.
y절편은 x = 0일 때의 y값을 의미하므로, 주어진 이차함수에서 x = 0을 대입하여 y절편을 구해보겠습니다.
y = -2분의1(0)제곱 + 3(0) + c = 0 + 0 + c = c
따라서, 주어진 이차함수의 y절편은 c입니다.
자연수가 3개일 때, 이차함수의 그래프가 3개의 자연수와 만나려면, 그래프의 y값이 자연수인 3개의 x값을 가져야 합니다.
위로 볼록한 포물선의 그래프에서 y값이 자연수인 x값은 포물선의 꼭짓점을 중심으로 대칭되는 점들입니다.
따라서, 꼭짓점의 y좌표가 자연수인 경우, 그래프의 y값이 자연수인 3개의 x값을 가져올 수 있습니다.
주어진 이차함수의 꼭짓점의 y좌표는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
꼭짓점의 x좌표는 -b/2a로 구할 수 있습니다. 여기서 b는 3이고, a는 -2분의1이므로, x좌표는 -3/(-2분의1) = 3입니다.
꼭짓점의 y좌표는 x좌표를 이차함수에 대입하여 구할 수 있습니다.
y = -2분의1(3)제곱 + 3(3) + c = -2분의1(9) + 9 + c = -2 + 9 + c = 7 + c
따라서, 꼭짓점의 y좌표는 7 + c입니다.
주어진 문제에서 자연수가 3개일 때, 이차함수의 그래프의 y값이 자연수인 3개의 x값을 가져야 하므로, 꼭짓점의 y좌표인 7 + c도 자연수여야 합니다.
따라서, 7 + c ≥ 1, 7 + c ≥ 2, 7 + c ≥ 3을 만족해야 합니다.
이를 정리하면, c ≥ -6, c ≥ -5, c ≥ -4입니다.
따라서, 상수 c의 값의 범위는 c ≥ -6입니다.