이차함수의 꼭짓점은 x = -b/2a에서 최솟값 또는 최댓값을 가지게 됩니다.
주어진 문제에서 꼭짓점이 직선 y = 2x + 6 위에 있으므로, 이차함수와 직선의 교점을 구하면 됩니다.
먼저, 이차함수와 직선을 동치로 놓고 풀어보겠습니다.
-x^2 + 4ax + 2b = 2x + 6
이를 정리하면,
-x^2 + 4ax - 2x + 2b - 6 = 0
-x^2 + (4a - 2)x + (2b - 6) = 0
이차방정식의 판별식을 이용하여 근의 공식을 적용하면,
판별식 D = (4a - 2)^2 - 4(-1)(2b - 6) = 16a^2 - 16a + 4 - 8b + 24 = 16a^2 - 16a - 8b + 28
이차방정식의 근의 공식을 적용하면,
x = (-b ± √D) / 2(-1) = (2 - 4a ± √(16a^2 - 16a - 8b + 28)) / 2
꼭짓점이 직선 위에 있으므로, 이차방정식의 근 중에서 x 값이 같은 두 근을 구하면 됩니다.
(2 - 4a + √(16a^2 - 16a - 8b + 28)) / 2 = (2 - 4a - √(16a^2 - 16a - 8b + 28)) / 2
2 - 4a + √(16a^2 - 16a - 8b + 28) = 2 - 4a - √(16a^2 - 16a - 8b + 28)
√(16a^2 - 16a - 8b + 28) = -√(16a^2 - 16a - 8b + 28)
16a^2 - 16a - 8b + 28 = 0
8b = 16a^2 - 16a + 28
b = 2a^2 - 2a + 7
따라서, b를 a에 관한 식으로 나타내면 b = 2a^2 - 2a + 7입니다.