중3 수준으로 정사면체(모든 면이 정삼각형인 뿔)의 무게중심을 쉽게 설명해 드리겠습니다.
핵심 아이디어
- 정사면체는 아주 대칭인 도형이어서, 각 꼭짓점에서 반대쪽 밑면에 내린 수선(즉 수직선)은 그 밑면의 중심(정삼각형의 무게중심)에 닿습니다.
- 세 꼭짓점에서 내려온 그런 선(꼭짓점과 반대면의 중심을 잇는 선)들은 모두 한 점에서 만나는데, 그 점이 정사면체의 무게중심입니다.
- 이 무게중심은 꼭짓점에서 반대면의 중심까지의 선분을 꼭짓점 쪽에서 3:1로 나눕니다(꼭짓점—무게중심 : 무게중심—면의 중심 = 3:1).
왜 그런지 쉬운 증명(그림 없이 이해하기 쉽게 단계별)
- 한 꼭짓점에서 밑면(정삼각형)에 수선을 내리면, 그 수선의 발은 밑면 정삼각형의 한 점 H입니다. 정사면체가 대칭이므로, 그 수선은 밑면의 모든 꼭짓점까지의 거리를 같게 만드는 점에 닿습니다. 즉 H는 밑면 정삼각형의 외심이자 무게중심입니다. (정삼각형에서는 외심, 무게중심, 내심이 같은 점입니다.)
- 이제 정사면체의 꼭짓점 O와 밑면 ABC의 중심 H를 잇는 선분 OH를 생각하면, O에서 내려오는 수선은 밑면의 어떤 직선들과도 수직이므로, 삼각형 OAH, OBH, OCH는 서로 같고 합동입니다. 그러므로 AH = BH = CH입니다.
- 세 꼭짓점에서 같은 방식으로 밑면의 중심으로 내린 선들을 모두 그려보면(각 꼭짓점에 대해 한 개), 정사면체 내부에 네 개의 작은 뿔(각 꼭짓점과 반대면의 중심으로 이루어진 뿔)이 생깁니다. 정사면체의 대칭성 때문에 이 네 개의 작은 뿔들은 부피가 모두 같습니다.
- 네 개의 부피가 같으니, 네 뿔의 꼭짓점들이 만나는 공통점(네 뿔이 만나서 분할되는 점)이 바로 전체 정사면체의 중심, 즉 무게중심입니다. 이 점은 각 꼭짓점에서 반대면의 중심으로 가는 선들을 모두 만나는 지점입니다.
- 비율(3:1)이 나오는 이유(간단하게):
- 전체 정사면체를 한 꼭짓점 O와 반대면의 중심 H를 잇는 선분 OH를 따라 자르면, 그 선분을 기준으로 생기는 뿔들의 부피 비로부터 OH를 분할하는 비율을 알 수 있습니다.
- 대칭과 부피 나눔을 이용하면, 꼭짓점 O에서 시작하여 무게중심 G까지의 길이는 전체 OH의 3/4가 되고, G에서 H까지는 1/4가 됩니다. 따라서 O–G : G–H = 3 : 1입니다.
- (직관적으로 말하면, 정사면체를 네 개의 같은 부피 뿔로 나눌 때 꼭짓점 쪽 뿔이 더 길게 차지하므로 분할비가 3:1이 됩니다.)
정리(중3 수준 요약)
- 정사면체에서 한 꼭짓점에서 반대면에 내린 수선의 발은 그 정삼각형의 무게중심입니다.
- 그런 선(꼭짓점과 반대면의 중심을 잇는 선)들은 모두 한 점에서 만나는데, 그 점이 정사면체의 무게중심입니다.
- 무게중심은 꼭짓점에서 반대면의 중심으로 가는 선을 3:1로 나눕니다(꼭짓점 쪽이 더 깁니다).
참고 자료