[질문] 극한에서 0으로 가는 경우 상수는 0인가 무한인가요?

간단히 말하면 “상수 ÷ (값이 0으로 가는 것)”의 극한은 상황에 따라 달라집니다. 경우를 나눠 정리하면 다음과 같습니다.

1. 분모가 0으로 가고 분자가 0이 아닌 유한한 상수 k인 경우

• 극한은 발산(무한대)입니다. 즉 k/→0 는 ±∞로 발산합니다.
• 부호는 분모가 0에 접근할 때의 부호(좌·우극한)와 k의 부호에 따라 결정됩니다.
  • 예: k>0, 분모→0+ → +∞, 분모→0- → -∞
  • k<0, 분모→0+ → -∞, 분모→0- → +∞

2. 분자도 0으로 가는 경우(0/0 꼴) — 부정형

• 이 경우는 단순히 0이나 ∞로 정해지지 않습니다. 추가적인 변형(인수분해·약분·통분 등)이나 로피탈의 정리 등을 사용해 극한값을 구해야 합니다. 경우에 따라 유한한 값, 무한대, 또는 존재하지 않을 수 있습니다.
  • 예: (x-2)/(x^2-4) as x→2 는 약분 후 1/(x+2) → 1/4 (수렴)
  • 예: (x-2)/(x-2)^2 as x→2 는 좌·우극한이 서로 달라 발산하거나 존재하지 않음

3. 분모가 무한대로 발산(→∞)하고 분자가 유한한 상수인 경우

• 상수/→∞ 는 0으로 수렴합니다.

4. 상수가 곱해진 형태 k·f(x)에서 f(x)→0이면

• 극한은 k·0 = 0 입니다(단, k가 유한한 상수일 때).

요약

• 분자 ≠ 0, 분모 → 0 ⇒ 발산(무한대, 부호는 경우에 따라 다름).
• 분자 → 0, 분모 → 0 ⇒ 0/0는 부정형: 추가 해석 필요.
• 분모 → ∞, 분자 유한 상수 ⇒ 0.

참고 자료

• https://m.blog.naver.com/hanbangsuhak/223168749447
• https://m.blog.naver.com/algosn/221260552064
• https://bornmath.tistory.com/entry/수학Ⅱ3함수의-극한의-성질