좌표평면에서 삼각형의 외심(circumcenter)과 내심(incenter)을 구하는 방법을 정리해 드리겠습니다. 꼭짓점 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)로 표기합니다.
- 외심 O의 구하는 방법
- 정의(구성선) : 세 변의 수직이등분선의 교점. 외접원의 중심이며 OA = OB = OC = R.
- 기하적 절차(직관적 방법) :
- AB의 중점과 기울기를 구하고, 그 수직기울기로 수직이등분선 방정식을 세움.
- BC(또는 AC)에 대해서도 같은 방식으로 두 수직이등분선의 교점을 구함.
- 두 선의 교점이 외심 O(xo, yo).
- 좌표(닫힌형) 공식(계산에 편리함):
정의를 위해
D = 2 * [ x1*(y2 - y3) + x2*(y3 - y1) + x3*(y1 - y2) ].
만약 D = 0 이면 세 점이 일직선상(삼각형이 아님)입니다.
그때 외심 좌표는
xo = [ (x1^2 + y1^2)(y2 - y3) + (x2^2 + y2^2)(y3 - y1) + (x3^2 + y3^2)(y1 - y2) ] / D,
yo = [ (x1^2 + y1^2)(x3 - x2) + (x2^2 + y2^2)(x1 - x3) + (x3^2 + y3^2)(x2 - x1) ] / D.
- 외접반지름 R:
R = sqrt((xo - x1)^2 + (yo - y1)^2) (또는 OA 거리)
- 내심 I의 구하는 방법
- 정의(구성선) : 세 내각의 이등분선의 교점. 내접원의 중심이며 I에서 세 변까지의 거리가 동일(r).
- 변의 길이(꼭짓점에 대응되게)
a = |BC| = sqrt((x2 - x3)^2 + (y2 - y3)^2) (A에 대응)
b = |CA| = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2) (B에 대응)
c = |AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) (C에 대응)
- 좌표(가중평균) 공식:
xi = (ax1 + bx2 + cx3) / (a + b + c),
yi = (ay1 + by2 + cy3) / (a + b + c).
(여기서 a는 A에 대칭인 변 BC의 길이 등 주의)
- 내접반지름 r:
삼각형 넓이 S = (1/2) * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|
r = S / s, where s = (a + b + c)/2 (반둘레).
간단한 요약
- 외심: 수직이등분선들의 교점 → 닫힌형 공식으로 D를 만들어 xo, yo 계산.
- 내심: 변의 길이로 가중한 좌표(각 이등분선의 교점) → (a x1 + b x2 + c x3)/(a+b+c), (a y1 + b y2 + c y3)/(a+b+c).
참고 자료
원하시면 주어진 꼭짓점 좌표로 위 공식을 적용한 구체적 계산 예를 바로 보여드릴 수 있습니다.