주어진 식은 다음과 같습니다: \[ \sqrt{5 - a^2} - \sqrt{8 - a^2} \] 단, \(5 < a < 8\)일 때 이 식을 간단히 하라는 문제입니다. --- ## 1. 문제 이해 및 정의역 확인 주어진 식은 두 개의 제곱근의 차입니다. \(a\)의 값이 \(5 < a < 8\) 범위에 있을 때, 식의 정의를 먼저 확인해야 합니다. - \(\sqrt{5 - a^2}\)는 \(5 - a^2 \geq 0\)이어야 실수 범위에서 정의됩니다. - \(\sqrt{8 - a^2}\) 역시 \(8 - a^2 \geq 0\)이어야 합니다. 하지만 \(a\)가 \(5 < a < 8\)라면, 예를 들어 \(a=6\)인 경우, - \(5 - 6^2 = 5 - 36 = -31 < 0\), - \(8 - 36 = -28 < 0\), 따라서 두 제곱근 모두 실수 범위에서 정의되지 않습니다. 즉, 실수 범위에서는 주어진 부등식 \(5 < a < 8\) 하에 제곱근이 의미가 없습니다. --- ## 2. 복소수 범위 해석 복소수 범위에서 계산을 진행한다면, 제곱근을 허수 단위 \(i = \sqrt{-1}\)를 사용하여 정의할 수 있습니다. \[ \sqrt{5 - a^2} = \sqrt{-(a^2 - 5)} = i \sqrt{a^2 -5}, \quad \sqrt{8 - a^2} = \sqrt{-(a^2 - 8)} = i \sqrt{a^2 -8} \] 이 경우 \(a^2 - 8 > a^2 - 5 > 0\)이므로 양수가 됩니다. 따라서 식은 \[ \sqrt{5 - a^2} - \sqrt{8 - a^2} = i \sqrt{a^2 -5} - i \sqrt{a^2 -8} = i \left( \sqrt{a^2 - 5} - \sqrt{a^2 -8} \right) \] --- ## 3. 식 간단히 하기 \[ i \left( \sqrt{a^2 - 5} - \sqrt{a^2 -8} \right) \] 여기서 \(\sqrt{a^2 - 5} - \sqrt{a^2 -8}\)을 유리화 (rationalize) 해보겠습니다. \[ \sqrt{a^2 - 5} - \sqrt{a^2 -8} = \frac{(\sqrt{a^2 - 5} - \sqrt{a^2 -8})(\sqrt{a^2 -5} + \sqrt{a^2 -8})}{\sqrt{a^2 -5} + \sqrt{a^2 -8}} = \frac{(a^2 -5) - (a^2 -8)}{\sqrt{a^2 -5} + \sqrt{a^2 -8}} = \frac{3}{\sqrt{a^2 -5} + \sqrt{a^2 -8}} \] 따라서 원래 식은 \[ i \left( \sqrt{a^2 - 5} - \sqrt{a^2 -8} \right) = i \cdot \frac{3}{\sqrt{a^2 -5} + \sqrt{a^2 -8}} = \frac{3i}{\sqrt{a^2 -5} + \sqrt{a^2 -8}} \] --- ## 4. 최종 답 실수 \(a\)에 대하여 \(5 < a < 8\)라면, 원래 식은 실수 범위에서 정의되지 않지만 복소수 범위에서 다음과 같이 간단히 표현할 수 있습니다: \[ \boxed{ \sqrt{5 - a^2} - \sqrt{8 - a^2} = \frac{3i}{\sqrt{a^2 -5} + \sqrt{a^2 -8}} } \] --- ## 참고 - 만일 문제의 의도가 \(a\)가 실수인데 \(a^2 < 5\) 또는 \(a^2 < 8\) 등의 조건이라면, 정의역부터 정확히 확인하는 것이 중요합니다. - 주어진 조건 \(5 < a < 8\) 하에서 실수 범위에서는 원래 식이 실수가 아니기 때문에 간단히 하는 과정은 복소수 범위에서의 변형임을 유념하시기 바랍니다. 궁금한 점이 있으면 언제든지 질문해 주세요!

[질문] 5&lt;a&lt;8일때 루트5-a제곱-루트8-a제곱을 간단히하면?

[질문] 5<a<8일때 루트5-a제곱-루트8-a제곱을 간단히하면?