[질문] 유레함수의 x축과 접하는 점

질문이 짧아서 의도(유리함수·다항함수 등)는 정확히 모르지만, 일반적인 답법(그래프가 x축과 '접하는' — 즉 접점이 되는 경우)을 정리하면 다음과 같습니다.

핵심 조건

• 함수 y = f(x)가 x = a에서 x축과 접하려면 두 조건을 만족해야 합니다.
  1. f(a) = 0 (x축과 만나는 점)
  2. f′(a) = 0 (그 지점의 접선 기울기가 0 → 접점에서 x축에 수평) 다른 관점(근의 중복도)
• 다항식(또는 약분된 유리함수)인 경우, x = a가 f의 근이고 그 근의 중복도(multiplicity)가
  • 짝수이면(예: 2, 4, ...) 그래프는 x축에 닿고 되돌아가므로 접한다(접점).
  • 홀수이면(예: 1, 3, ...) 그래프는 x축을 통과한다(접하지 않음).
• 따라서 근의 중복도가 2 이상인 짝수이면 접한다.

유리함수(분수꼴)일 때 주의

• y = p(x)/q(x) 형태라면, x = a에서 q(a) ≠ 0이고 p(a) = 0이며 p에서의 근의 중복도가 짝수이면 접한다.
• 만약 p(a) = q(a) = 0이면 (소거 가능한 제거점 또는 근원적 특이점) 먼저 약분해서 남는 식을 보고 판단해야 한다. 약분 후에도 0이 되는 경우 위 조건(중복도 또는 도함수)을 확인.

특수 예

• 이차함수 y = ax^2 + bx + c: 판별식 D = b^2 − 4ac
  • D = 0 이면 중근 x = −b/(2a)에서 x축에 접한다. (예: y = (x−1)^2는 (1,0)에서 접함)
• 예: y = (x−1)^2/(x+2)
  • 분자는 x=1에서 중근(중복도 2), 분모는 1에서 0이 아니므로 x=1에서 접한다.

간단한 판별절차

1. f(x) = 0을 풀어 후보 a들을 찾는다.
2. 각 후보 a에 대해
   • (가능하면) 근의 중복도를 확인하거나,
   • 도함수 f′(x)를 구해 f′(a) = 0인지 확인한다.
3. q(a)=0처럼 함수가 정의되지 않는 점이면 약분·정의여부를 먼저 살핀다. 참고자료(설명·예시)

• 이차함수의 x축 교점과 활용(인수분해·거리 등) — 꽃게선생 블로그 https://blog.naver.com/PostView.naver?blogId=crabteacher2025&logNo=223660867812
• 축(특히 x축)에 접하는 원의 방정식(‘접한다’ 조건에 대한 설명 참고용) — 친절샘 블로그 https://pascalsw.tistory.com/446
• 이차함수(근·중근·대칭축·판별식 등 배경지식) — 나무위키(이차함수) https://namu.wiki/w/이차함수

원하시면 특정 함수(y = ?)에 대해 직접 접점인지 확인해 드리겠습니다. 함수식을 알려 주세요.