분수함수를 부분분수로 나타낸 후 부정적분하는 방법은 다음과 같습니다.
1. 분수함수를 부분분수로 분해합니다. 이를 위해 분모를 인수분해하고, 분모의 인수에 대응하는 부분분수를 찾습니다.
2. 부분분수로 분해된 분수를 각각 적분합니다.
3. 적분한 결과를 모두 더합니다.
예를 들어, 분수함수 f(x) = (3x + 2) / (x^2 + 4x + 3)를 부분분수로 나타내고 부정적분해보겠습니다.
1. 분모를 인수분해합니다. x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)입니다.
따라서, f(x) = (3x + 2) / ((x + 1)(x + 3))입니다.
2. 부분분수를 찾습니다. 분모의 인수인 (x + 1)과 (x + 3)에 대응하는 부분분수를 찾아야 합니다.
f(x) = A / (x + 1) + B / (x + 3)입니다.
3. A와 B를 구하기 위해 등식을 세웁니다.
(3x + 2) / ((x + 1)(x + 3)) = A / (x + 1) + B / (x + 3)입니다.
4. 등식의 양변을 공통분모로 만들어 정리합니다.
(3x + 2) = A(x + 3) + B(x + 1)입니다.
5. 등식의 양변의 계수를 비교합니다.
3x + 2 = (A + B)x + (3A + B)입니다.
6. 계수를 비교하여 연립방정식을 만듭니다.
A + B = 3
3A + B = 2
7. 연립방정식을 풀어 A와 B의 값을 구합니다.
A = 1, B = 2입니다.
8. 부분분수를 대입하여 분수함수를 다시 쓰면 다음과 같습니다.
f(x) = 1 / (x + 1) + 2 / (x + 3)입니다.
9. 부분분수를 각각 적분합니다.
∫(1 / (x + 1)) dx = ln|x + 1| + C1
∫(2 / (x + 3)) dx = 2ln|x + 3| + C2
10. 적분한 결과를 모두 더합니다.
∫f(x) dx = ln|x + 1| + 2ln|x + 3| + C
따라서, 분수함수 f(x) = (3x + 2) / (x^2 + 4x + 3)의 부정적분은 ln|x + 1| + 2ln|x + 3| + C입니다.