[질문] 0/0과 ∞/0의 값은 뭐가 되나요? 예를 들면 1/0은 무한대 맞죠?

좋은 질문입니다. 간단히 요약하면 다음과 같습니다.

• 1/0은 실수 체계에서 정의되지 않습니다. 따라서 "1/0 = ∞"이라고 아무런 조건 없이 말할 수는 없습니다. 다만 함수 1/x를 x → 0+로 보낼 때 값은 +∞로 발산하고, x → 0−로 보낼 때는 −∞로 발산합니다. 이것은 한쪽 극한이 무한대로 발산한다는 뜻이지, 1/0을 어떤 특정 실수나 기호로 값으로 정했다는 뜻은 아닙니다.

• 0/0은 산술적으로도 정의되지 않고, 극한 관점에서도 특수한 경우로 "미정형(indeterminate form)"입니다. 즉 단순히 0을 0으로 나눈 형식만으로는 그 값(혹은 극한)이 무엇인지 알 수 없습니다. 예:

  • lim_{x→0} x/x = 1
  • lim_{x→0} x^2/x = 0
  • lim_{x→0} sin x / x = 1 이처럼 분자·분모의 구체적 형태에 따라 극한값이 달라집니다. 0/0 꼴의 극한을 평가할 때는 인수분해, 급수 전개, 치환 또는 L’Hôpital의 법칙 등 적절한 방법을 써야 합니다.

• ∞/0(예: 분자는 무한대로 커지고 분모는 0에 수렴하는 경우)은 일반 산술표현으로는 정의되지 않습니다. 극한 관점에서는 보통 다음처럼 정리할 수 있습니다.

  • 만약 분자가 양의 무한대로 발산하고 분모가 0+로 수렴하면 비율은 +∞로 발산하는 경우가 많습니다.
  • 분자가 음의 무한대로 발산하거나 분모가 0−이면 부호가 달라질 수 있습니다.
  • 그러나 여전히 구체적 함수 형태에 따라 발산하지 않고 다른 거동을 보이거나(예: 진동) 극한이 존재하지 않을 수도 있습니다. 따라서 ∞/0 역시 단순한 형태만으로 값이 정해지지 않으며, 구체적 상황에서 극한을 따져야 합니다.

• 요약:

  • 일반 실수 체계에서 어떤 수를 0으로 나누는 연산은 정의되지 않습니다.
  • 표현 0/0은 특히 “미정형”으로, 극한을 통해서만 값(또는 발산 여부)을 판단할 수 있습니다.
  • 표현 ∞/0도 단순히 무한대 나누기 0으로 처리할 수 없고, 극한 맥락에서 개별적으로 분석해야 합니다.
  • 확장된 수 체계(확장 실수선, 사영 확장, 복소수의 리만 구 등)에서는 상황에 따라 ±∞ 또는 한 점의 ∞로 해석하기도 하지만, 그러한 확장은 기존 실수 연산 규칙과 달라지므로 주의가 필요합니다.

참고 자료

• https://econtutorials.com/lhopitals-rule-explained/
• https://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form
• https://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero