[질문] 정다면체 꼭짓점이랑 모서리 궁하는 공식은 같아?

같지 않습니다. 정다면체(플라톤 입체)의 꼭짓점 수 V와 모서리 수 E를 구하는 공식은 다음과 같이 서로 다른 식으로 구합니다.

• 한 면이 정p각형이고, 전체 면의 수가 F이며, 한 꼭짓점에 q개의 면이 모인다고 할 때
  • 모서리 수: E = pF / 2
    (한 면에 p개의 모서리가 있으므로 전체 모서리 수의 합은 pF이지만, 각 모서리는 두 면에 속하므로 2로 나눕니다.)
  • 꼭짓점 수: V = pF / q
    (한 면에 p개의 꼭짓점이 있으므로 전체 꼭짓점의 합은 pF이나, 각 꼭짓점은 q개의 면에 의해 중복 계수 q로 세어지므로 q로 나눕니다.)

또한 모든 볼록다면체(특히 정다면체)에 대해 오일러 공식이 성립합니다: V - E + F = 2. 이 식을 위의 식들과 함께 사용하면 여러 방식으로 수를 확인할 수 있습니다. 간단한 예: 정육면체(정사각형 면, p=4, F=6, 한 꼭짓점에 q=3)
E = pF/2 = 4·6/2 = 12, V = pF/q = 4·6/3 = 8, 그리고 8 - 12 + 6 = 2가 성립합니다.

참고 자료

• https://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=eandimath&logNo=221702878348
• https://mathpowergen.com/정다면체-5개인-이유-증명-꼭짓점-모서리-개수-표-정리/
• https://m.blog.naver.com/olhohyun/223178353155