짧게 답변드리면, 1/n의 합은 "조화수" Hn으로 표기하며 유한합에 대한 간단한 초월함수 표현은 없지만 여러 유용한 표현과 근사식이 있습니다. 무한히 더하면(∑_{k=1}^∞ 1/k) 발산합니다.
주요 공식·성질
- 정의(유한합): H_n = ∑_{k=1}^n 1/k.
- 감마/디감마 함수 표현: H_n = ψ(n+1) + γ (여기서 ψ는 디감마 함수, γ는 오일러–마스케로니 상수).
- 정적분 표현(실수 확장): H_x = ∫_0^1 (1 − t^x)/(1 − t) dt (자연수 x = n일 때 위의 유한합과 같아짐).
- 무한합(조화급수): ∑_{k=1}^∞ 1/k = ∞ (발산).
- 근사(큰 n에 대하여): H_n = ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n^2) + O(1/n^4) (오일러–매클로린 전개에 따른 계수들).
- 생성함수: ∑_{n=1}^∞ H_n x^n = −ln(1−x)/(1−x) (|x|<1).
요약하자면, 1/n의 합을 닫힌형(유한한 초등함수)으로 표현하는 간단한 공식은 없고 H_n이라는 표준 표기가 있으며 디감마 함수, 적분식, 그리고 로그+상수 형태의 근사식을 통해 다룰 수 있습니다. 무한합은 발산합니다.
참고 자료