네. 정삼각형에서는 내심, 외심, 무게중심(그리고 수심·오심 등 주요 중심들)이 모두 동일한 한 점에 있습니다.
이유(간단히)
- 정삼각형은 세 변과 세 각이 모두 같아 대칭성이 매우 큽니다.
- 각의 이등분선(내심을 정의), 변의 수직이등분선(외심), 중선(무게중심)은 각각 서로 다른 정의지만 정삼각형의 경우에는 같은 직선들이 됩니다. 예를 들어 한 꼭짓점에서 그은 중선은 그 꼭짓점에서의 각의 이등분선이자 그 변의 수직이등분선과 대칭적으로 겹칩니다.
- 따라서 이 선들이 한 점에서 만나고, 그 교점이 내심·외심·무게중심이 됩니다. (같은 이유로 수심·오심 등도 이 점과 일치합니다.)
덧붙여 거리 관계(한 변의 길이 a일 때)
- 외접원 반지름 R = (a√3)/3
- 내접원 반지름 r = (a√3)/6
- 중심에서 꼭짓점까지의 거리 = R, 중심에서 변까지의 거리 = r
(무게중심은 중심에서 꼭짓점으로 향하는 중선 위에서 꼭짓점 쪽에서 2:1 비율로 위치하지만, 정삼각형에서는 그 위치가 위의 중심과 일치합니다.)
참고 자료