[질문] 7로 나누면 6 남고, 6으로 나누면 5 남고, 5로 나누면 1 부족한 큰 세 자리 자연수는 무엇일까요?

문제를 모듈러식으로 바꾸면

• N ≡ 6 (mod 7) → N ≡ −1 (mod 7)
• N ≡ 5 (mod 6) → N ≡ −1 (mod 6)
• N ≡ 4 (mod 5) → N ≡ −1 (mod 5)

따라서 N은 5, 6, 7에 대해 모두 −1에 합동이므로 N ≡ −1 (mod lcm(5,6,7))이고 lcm(5,6,7)=210입니다. 즉 N = 210k − 1 꼴입니다.

세 자리(100 ≤ N ≤ 999)에서 가장 큰 값을 구하면 210k − 1 ≤ 999 → 210k ≤ 1000 → k ≤ 4 이므로 k = 4를 취하면 N = 210·4 − 1 = 839 입니다.

확인: 839 ÷ 7 나머지 6, 839 ÷ 6 나머지 5, 839 ÷ 5는 1 부족(나머지 4)입니다.

정답: 839

참고 자료

• https://m.blog.naver.com/jyjh0501/222563665897
• https://calculatorlib.com/ko/modulo-remainder-calculator
• https://m.blog.naver.com/luexr/223238472229