좋습니다. 공기 저항을 무시하고 중력만 작용한다고 가정한 전형적인 포물체(탄도) 운동을 이차함수로 계산하는 방법을 단계별로 정리해 드리겠습니다.
기본 가정
- 중력 가속도 g는 일정(지표 근처에서는 보통 g = 9.8 m/s^2).
- 공기 저항 무시, 지면은 평평(초기 높이 y0 허용).
- 초기 속도 크기 v0, 발사각 θ(수평과 이루는 각), 초기 높이 y0.
- 시간에 따른 위치(운동 방정식)
- 수평 위치: x(t) = v0 cosθ · t
- 수직 위치(높이): y(t) = y0 + v0 sinθ · t - (1/2) g t^2
여기서 y(t)는 t초 후의 높이이며, 이는 t에 대한 이차함수 형태입니다.
- 궤적을 x에 대한 함수(포물선 방정식)로 표현
x(t)에서 t = x / (v0 cosθ)를 대입하면
y(x) = y0 + x tanθ - (g x^2) / (2 v0^2 cos^2θ).
이는 x에 대한 이차함수(포물선)입니다.
- 비행 시간(T)
발사체가 착지(지면 높이 y = 0 또는 지정된 y_final)할 때의 시간.
- 초기 높이 y0에서 지면(y = 0)으로 돌아오는 전체 비행시간 T는 y(T)=0을 풀어 얻는 근:
(1/2) g T^2 - v0 sinθ · T - y0 = 0 을 풀면
T = [v0 sinθ + sqrt((v0 sinθ)^2 + 2 g y0)] / g
(양의 근 사용)
- y0 = 0인 경우 단순화:
T = 2 v0 sinθ / g
- 최고점(최대 높이)과 도달 시간
- 수직 속도가 0이 되는 시각 t_peak = v0 sinθ / g
- 그때의 최대 높이 h_max:
h_max = y0 + (v0^2 sin^2θ) / (2 g)
- 수평 사거리(R)
- 초기 높이 y0 = 0인 경우 착지 지점까지의 수평거리(사거리):
R = (v0^2 sin 2θ) / g
- y0 ≠ 0이면 y(T)=0에서 x = v0 cosθ · T를 대입해 구함(위의 T 사용).
- y0 = 0일 때 사거리가 최대가 되려면 θ = 45°.
- 특정 목표 (x, y) 에 도달하기 위한 발사각(도달각)
- (0, y0)에서 발사하여 목표 (x, y) 에 맞추려면 위의 y(x) 식을 사용:
y - y0 = x tanθ - (g x^2) / (2 v0^2 cos^2θ)
이를 tanθ = u로 두고 정리하면 이차방정식 형태가 되어 두 개의 θ(완만한 궤적과 급한 궤적)를 얻습니다.
- 해를 직접 쓸 때는 다음 식을 사용:
θ = arctan( (v0^2 ± sqrt(v0^4 - g (g x^2 + 2 y v0^2))) / (g x) )
(근의 판별식 내부가 음이면 주어진 v0로는 도달 불가)
- 초기속도 v0가 주어졌을 때 목표 x까지 가도록 하는 최소 v0
- 목표 (x,y)가 주어지면 v0^2 최소값은 판별식이 0이 되는 경우로 유도할 수 있음(수식 생략 가능).
유용한 요약식
- 위치: x(t) = v0 cosθ · t, y(t) = y0 + v0 sinθ · t - (1/2) g t^2
- 궤적(포물선): y(x) = y0 + x tanθ - (g x^2) / (2 v0^2 cos^2θ)
- 비행시간(y0=0): T = 2 v0 sinθ / g
- 최대높이: h_max = y0 + (v0^2 sin^2θ) / (2 g)
- 사거리(y0=0): R = (v0^2 sin 2θ) / g
주의사항(모델 한계)
- 실제 탄도 계산에서는 공기 저항, 풍속, 공기밀도 변화, 발사체 회전(매그누스 효과), 지구 곡률 및 중력 변화 등을 고려해야 하며, 그 경우 수치해석 또는 추가 복잡한 모델이 필요합니다. 위 식들은 이상화된 진공(저항 무시) 모델에 해당합니다.
간단 예시(숫자 적용)
원하시면 특정 수치(v0, θ, y0)를 주지 않아도 예시 계산(숫자 결과)을 바로 제시해 드릴 수 있으나, 요청이 없으므로 일반식과 방법만 정리해 드렸습니다.