간단히 말하면, 함수의 공역(codomain)과 치역(range)이 같다는 것은 "함수가 공역의 모든 원소를 실제로 값으로 갖는다"는 뜻입니다. 수학적으로는 다음과 같습니다.
- 함수 f: X → Y 에 대해 치역은 f(X) = { f(x) | x ∈ X } 이고, 항상 f(X) ⊆ Y 입니다.
- 공역 Y와 치역 f(X)이 같다는 말은 f(X) = Y 이고, 이 성질을 만족하는 함수를 전사함수(또는 온투(onto) 함수)라고 합니다.
- 동치 서술(전사 조건): ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X such that f(x) = y. 즉 공역의 임의의 원소 y에 대해 어떤 x가 있어 f(x)=y가 됩니다.
예
- f: ℝ → ℝ, f(x) = x^2 은 전사가 아닙니다. 공역 Y = ℝ 안의 음수는 어떤 x로도 나오지 않기 때문입니다. (치역은 [0,∞)입니다.)
- f: ℝ → [0,∞), f(x) = x^2 는 전사입니다. 공역으로 음이 아닌 실수들을 정해 두었기 때문에 모든 공역 원소가 어떤 제곱으로 나타납니다.
의미적 요약: 공역과 치역이 같다는 것은 “함수가 미리 정해진 모든 가능한 출력 후보(공역)를 실제로 전부 사용한다”는 뜻이며, 이를 전사함수라 부릅니다.
참고 자료