[질문] 둘레가 40cm인 부채꼴의 넓이가 최대가 되도록 할 때의 반지름 길이와 최대 넓이를 구해줄래요?

둘레(=부채꼴의 경계 길이)가 40 cm일 때 넓이가 최대가 되도록 하는 반지름과 최대 넓이는 다음과 같습니다.

풀이 요약

1. 부채꼴 둘레 조건: 2r + rθ = 40 (θ는 라디안) → θ = 40/r − 2

2. 넓이: S = ½ r² θ = ½ r²(40/r − 2) = 20r − r²

3. S(r) = −r² + 20r 은 포물선(계수 a = −1)이므로 최대값은 r = −b/(2a) = 20/2 = 10(cm).

4. 이때 θ = 40/10 − 2 = 2 (rad), 최대 넓이 S = 20·10 − 10² = 100 cm² (또는 ½·10²·2 = 100 cm²).

결과

• 반지름 r = 10 cm
• 중심각 θ = 2 라디안
• 최대 넓이 S_max = 100 cm²

참고 자료

• https://m.blog.naver.com/feia1230/224253611422
• https://m.blog.naver.com/run_and_run/222861173380
• https://toast-story.tistory.com/entry/원의-일부인-부채꼴의-원-호-부채꼴-활꼴의-길이둘레와-면적-구하는-공식모음반지름과-중심각으로-구하기