순환소수와 유한소수의 차이는 소수표기에서 소수점 아래 자릿수가 어떤 식으로 끝나거나 반복되느냐에 따른 분류입니다. 요점을 정리하면 다음과 같습니다.
- 유한소수(terminating decimal)
- 정의: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한개만 있는 소수(예: 0.6, 1.25).
- 분수 판별법: 분수를 기약분수(p/q)로 나타냈을 때 분모 q의 소인수가 2와 5만 포함되어 있으면(즉 q의 소인수가 2 또는 5 밖에 없으면) 십진법에서 유한소수로 표현됩니다. 예: 3/5 = 0.6, 5/4 = 1.25.
- 관습적 표기: 소수 끝에 반복되는 0은 보통 생략하므로 유한하게 보입니다(엄밀히 말하면 0이 무한히 반복되는 형태로 볼 수도 있음).
- 순환소수(repeating/recurring decimal)
- 정의: 소수점 아래에서 일정한 숫자 배열(순환마디)이 무한히 되풀이되는 소수(예: 0.666… = 0.\dot{6}, 0.3636… = 0.\dot{36}).
- 분수 판별법: 기약분수로 나타냈을 때 분모에 2나 5 외의 소인수가 하나라도 있으면(즉 분모가 2,5 이외의 소인수를 포함하면) 십진법에서 반드시 순환소수가 됩니다. 예: 2/3 = 0.666…, 4/11 = 0.3636….
- 성질: 나눗셈에서 생기는 나머지는 유한개이므로 언젠가 반복되는 나머지가 나오고, 그때부터 몫의 자릿수가 순환합니다. 순환마디의 길이와 위치(첫째 자리부터 반복되면 순순환, 일부 이후부터 반복되면 혼순환)가 다양합니다.
- 표기법: 반복되는 부분 위에 점을 찍거나 괄호/바를 씁니다(예: 0.\dot{3}, 0.(36), 0.\overline{36}).
- 추가 유의점
- 위의 판별법과 분류는 십진법을 기준으로 한 것입니다. 다른 진법에서는 유한/무한의 여부가 달라질 수 있습니다(예: 1/8은 10진법에서 0.125로 유한, 9진법에서는 무한).
- 모든 유리수는 어떤 진법에서 보면 순환소수(또는 유한소수는 순환마디가 0인 특수한 경우)로 나타낼 수 있고, 반대로 순환마디가 없는 무한소수는 무리수입니다.
간단한 예