제곱하면 단위행렬이 되는 행렬 A (즉 A^2 = I)는 '역원으로서 자기 자신의 역수'가 되는 행렬이며 보통 "involution(반전사)" 또는 "멱영의 항등(제곱이 1)"이라고 부릅니다. 주요 성질과 분류는 다음과 같습니다.
정의와 이름
- A^2 = I 를 만족하는 정사각행렬 A를 involution(한국어로는 흔히 '반전 행렬' 또는 '멱영행렬'이라 부름)이라 합니다.
고유값(스펙트럼)
- 복소수나 실수 위에서의 고유값은 반드시 ±1입니다. (만약 λ가 고유값이면 λ^2 = 1 이므로 λ = ±1.)
대각화 가능한 경우(특히 실수·복소수 위)
- A가 대각화 가능하면 어떤 가역행렬 P에 대해
A = P diag(I_k, −I_m) P^{-1}
형태로 쓸 수 있습니다. 즉, A는 어떤 기저에서 1과 −1이 나열된 대각행렬과 닮음(상사)입니다.
- 이 경우 A는 차원이 k인 +1 고유공간과 차원이 m인 −1 고유공간으로 직교(혹은 직접) 합으로 분해됩니다.
투영과의 관계(적절한 변환)
- P := (I + A)/2 로 정의하면 P^2 = P (즉, idempotent, 투영행렬)이 됩니다. 반대로 어떤 투영행렬 P가 주어지면
A = 2P − I
는 A^2 = I 를 만족합니다. 따라서 involution과 투영행렬은 1:1 대응 관계에 있습니다(특히 실수/복소수에서).
비(非)대각화 가능한 경우 / 특수한 경우
- 일반적으로 실수·복소수 위에서는 A^2 = I 를 만족하는 행렬의 모든 최소다항식은 분해형(t(t−1) 등)으로 ±1의 중근이 없으므로 A는 대각화 가능합니다; 즉 조르당 블록의 크기 > 1인 경우는 발생하지 않습니다. (단, 특성 2인 체계에서는 사정이 달라집니다: 1 = −1 이므로 다른 거동을 함.)
- 따라서 실수 또는 복소수 위에서는 모든 A는 위의 닮음 형태로 기술됩니다.
예
- I (항등행렬)과 −I
- 반사 행렬(유클리드 공간에서 어떤 초평면에 대한 반사): 대칭이고 A^2 = I 이며 고유값은 1(초평면에 속하는 방향)과 −1(법선방향).
- 교환(치환) 행렬 중 순환 길이가 2인 교환(permutation) 행렬들은 A^2 = I 를 만족.
요약
- A^2 = I 인 행렬은 involution이며, 실수·복소수 위에서는 고유값이 ±1이고 항상 1과 −1의 블록으로 대각화되어 A = P diag(I_k, −I_m) P^{-1} 로 표현됩니다. 또한 (I + A)/2 는 투영행렬이고, 그 역으로 모든 투영행렬로부터 A = 2P − I 를 얻을 수 있습니다. 특성 2인 체계에서는 예외적 거동이 있으므로 주의가 필요합니다.
참고 자료