물론입니다. 등속 원운동에서 구심가속도(centripetal acceleration)를 벡터·극한을 이용해 유도해드리겠습니다.
- 상황 설정
- 반지름 r인 원을 등속(속력 v)으로 도는 물체를 생각합니다.
- 시간 t에서의 속도벡터를 v⃗1, 시간 t+Δt에서의 속도벡터를 v⃗2라 두겠습니다. 크기 |v⃗1| = |v⃗2| = v이지만 방향이 Δθ만큼 바뀝니다. 이때 Δθ는 중심각이고 Δt→0이면 Δθ→0입니다.
- 속도벡터 차이의 크기 계산 (삼각형/코사인 법칙)
- 벡터 v⃗1, v⃗2는 같은 크기의 두 변으로 이루어진 이등변삼각형을 만듭니다. 변 사이의 끼인각은 Δθ이므로 코사인 법칙을 쓰면
|Δv⃗|^2 = |v⃗2 - v⃗1|^2 = v^2 + v^2 - 2v^2 cosΔθ = 2v^2(1 - cosΔθ).
- 삼각함수 반각 공식으로 정리하면
|Δv⃗| = 2v sin(Δθ/2).
- 평균가속도 크기와 극한 (순간가속도)
- 평균가속도의 크기는 |Δv⃗|/Δt 이므로
a_avg = |Δv⃗|/Δt = (2v/Δt) sin(Δθ/2).
- Δθ = ω Δt를 이용(각속도 ω = Δθ/Δt)하면
a_avg = 2v (sin(Δθ/2)/(Δθ)) · ω.
여기서 sin(Δθ/2)/(Δθ) = (1/2)·(sin(Δθ/2)/(Δθ/2)).
- Δt → 0 (따라서 Δθ → 0)일 때 극한을 취하면 sin x / x → 1이므로
lim_{Δt→0} a_avg = 2v · (1/2) · ω = v ω.
- 각속도와 선속도의 관계 v = ω r를 대입하면
a = v ω = v (v/r) = v^2 / r.
- 또 ω = v/r을 대입하면 a = ω^2 r 라는 형태도 얻습니다.
- 방향(구심 방향)
- 위의 이등변삼각형에서 Δv⃗는 두 속도벡터의 끝점을 잇는 변으로, 그 삼각형의 변들로부터 기하적으로 보면 Δv⃗의 방향은 두 속도벡터의 중간 방향(양쪽 속도 벡터의 방향을 이은 호의 접선 쌍의 내분 방향)으로 수렴합니다. Δθ→0이면 그 중간 방향은 접선에 수직이며 원의 중심을 향합니다. 따라서 가속도의 방향은 항상 원의 중심을 향합니다(구심 방향).
- 결론식 및 구심력
- 구심가속도: a_c = v^2 / r = ω^2 r, 방향은 원의 중심을 향함.
- 이에 대응하는 구심력: F_c = m a_c = m v^2 / r = m ω^2 r.
참고 자료
필요한 핵심 극한(sin x / x → 1)과 코사인법칙을 이용한 삼각형 계산이 유도에서 사용되었습니다.