두 변의 길이가 주어졌을 때 남은 한 변의 길이를 구하는 방법은 주어진 추가 정보(직각 여부, 각의 정보 등)에 따라 달라집니다. 상황별로 쓸 공식과 핵심 조건을 정리하면 다음과 같습니다.
직각삼각형(한 각이 90°인 경우)
- 피타고라스 정리: 빗변 c, 다른 두 변 a, b에 대해 a² + b² = c².
- 예: 두 다리 a, b가 주어지면 c = √(a² + b²). 빗변과 한 다리가 주어지면 다른 다리 = √(c² − a²).
두 변과 그 사이각(끼인각)이 주어진 경우 (SAS)
- 코사인법칙: c² = a² + b² − 2ab cos C (C는 a와 b 사이의 각).
- 예: a, b, ∠C 주어지면 c = √(a² + b² − 2ab cos C).
한 변과 두 각(또는 두 각과 한 변)이 주어진 경우 (AAS 또는 ASA) 또는 두 변과 끼이지 않은 한 각(SSA)
- 사인법칙: a/sin A = b/sin B = c/sin C.
- 예: a와 ∠A, ∠B가 주어지면 b = a × sin B / sin A.
- 주의(SSA): 사인법칙 적용 시 모호성(두 가능한 각)이 생길 수 있으므로 가능한 각이 0°<θ<180°인지, 내각 합이 180°를 넘지 않는지 확인해야 합니다.
세 변 중 하나를 알아내려 할 때 각이나 다른 조건이 전혀 없으면(두 변만 아는 경우, 각 정보 없음)
- 남은 변은 일반적으로 유일하게 결정되지 않습니다. 가능한 값 범위는 삼각형 부등식에 의해 제한됩니다.
- 삼각형 부등식: 임의의 두 변의 합은 나머지 변보다 커야 함. 즉 a + b > c, a + c > b, b + c > a.
- 따라서 주어진 두 변 a, b에 대해 가능한 세 번째 변 c는 |a − b| < c < a + b 범위에 있어야 합니다.
특수한 경우(정삼각형·이등변 등)
- 정삼각형: 변 두 개가 주어지고 같다면 세 번째도 동일(모두 같음).
- 이등변삼각형: 같은 두 변이 주어지면 각 관계로 세 번째 변을 구할 수 있음(각 정보 필요할 수 있음).
요약(실전 선택 기준)
- 직각임이 명시되면 → 피타고라스 정리.
- 두 변과 끼인각이 있으면 → 코사인법칙.
- 한 변과 한 각(또는 두 각)이 있으면 → 사인법칙.
- 각 정보 전혀 없으면 → 유일한 값이 되지 않음(삼각형 부등식으로 가능 범위만 알 수 있음).
- SSA(사인법칙) 상황에서는 모호성(해가 0, 1, 또는 2개)이 생길 수 있음에 유의.
참고 자료