[질문] 루트를 미분하는 방법이 궁금한데요?

루트(제곱근·n제곱근)를 미분하는 방법을 정리해 드리겠습니다.

기본 원리

• 루트함수는 멱함수로 바꿔서 미분합니다. 예를 들어 √x = x^{1/2} 이므로 멱함수 미분법을 적용합니다.
• 멱함수 미분법: d/dx [x^a] = a x^{a-1} (a는 실수)

주요 결과

• 제곱근: d/dx [√x] = d/dx [x^{1/2}] = (1/2) x^{-1/2} = 1/(2√x) (정의역: x > 0)
• 일반적인 n제곱근(정수 n ≥ 1): n번째 제곱근은 x^{1/n} 이고, d/dx [x^{1/n}] = (1/n) x^{1/n - 1} = 1 / (n x^{(n-1)/n}) (짝수 n인 경우 보통 x ≥ 0만 고려)
• 분수지수형(예: m/n): d/dx [x^{m/n}] = (m/n) x^{m/n - 1}

합성함수(체인룰) 적용

• 안에 함수가 있는 경우 속함수의 도함수를 곱합니다. 예: y = √(g(x)) = (g(x))^{1/2} 이면 dy/dx = (1/2) (g(x))^{-1/2} · g'(x) = g'(x) / (2 √(g(x)))
• 일반적으로 y = (g(x))^{a} 이면 dy/dx = a (g(x))^{a-1} · g'(x)

주의점 및 특이점

• √x의 도함수는 x → 0+에서 무한대로 발산합니다(미분불가능한 점은 x=0에서 접선 기울기가 무한대로 생각됨).
• 짝수 루트(예: √ )는 음수 입력에 대해 실수값 정의되지 않으므로 정의역을 확인해야 합니다. 홀수 루트(예: 세제곱근)는 음수 입력도 허용됩니다.
• 분수지수 미분은 원래 함수가 해당 지수에서 정의되어 있고 미분가능한 구간에서만 적용합니다.

간단한 예제

• y = √x → y' = 1/(2√x)
• y = (x^2 + 1)^{1/2} → y' = (1/2)(x^2 + 1)^{-1/2} · 2x = x / √(x^2 + 1)
• y = ∛x = x^{1/3} → y' = (1/3) x^{-2/3} = 1 / (3 x^{2/3})
• y = 1/√(x) = x^{-1/2} → y' = (-1/2) x^{-3/2} = -1 / (2 x^{3/2})

요약

• 루트는 지수를 분수(예: 1/2)로 보고 멱함수 미분법을 적용하고, 안에 함수가 있으면 체인룰로 속미분을 곱하면 됩니다.

참고 자료

• https://m.blog.naver.com/femold/223315776187
• https://namu.wiki/w/%EC%97%B0%EC%87%84%20%EB%B2%95%EC%B9%99
• https://hellmath.tistory.com/73