아닙니다. 서로 다른 두 무리수의 곱이 항상 무리수인 것은 아닙니다.
반례와 일반적인 구성:
- 간단한 반례: a = √2, b = −√2는 서로 다른 무리수인데 a·b = −2는 유리수입니다.
- 일반적인 방법: 임의의 무리수 x (x ≠ 0)을 택하고 임의의 유리수 r (r ≠ 0)를 취하면 b = r/x는 무리수입니다. 만약 b가 유리수라면 x = r/b가 유리수가 되어 모순이므로 b는 무리수입니다. 이때 x·b = r(유리수)이므로 서로 다른 두 무리수의 곱이 유리수가 되는 예를 무한히 만들 수 있습니다. 예: x = √2, r = 1이면 b = 1/√2(무리수)이고 곱은 1입니다.
한편 두 무리수의 곱이 무리수가 되는 경우도 많습니다. 예: √2 · √3 = √6는 무리수입니다.
따라서 결론은: 두 서로 다른 무리수의 곱이 항상 무리수인 것은 아니며, 경우에 따라 유리수일 수도 있고 무리수일 수도 있습니다.