세계 8대 난제는 보통 클레이 수학연구소가 제시한 7개의 ‘밀레니엄 문제’에 대중적으로 자주 함께 거론되는 한 가지 난제를 더한 목록을 뜻합니다. 대표적인 8개 항목과 간단한 설명은 다음과 같습니다.
- 푸앵카레 추측 (Poincaré conjecture) — 닫히고 단일 연결인 3차원 위상다양체가 3차원 구와 위상동형인지에 관한 문제입니다. 2002–2003년 페렐만의 증명으로 해결되었고, 클레이 연구소는 2010년에 공식적으로 인정했습니다.
- 리만 가설 (Riemann hypothesis) — 리만 제타 함수의 비자명한 영점들의 실수부가 모두 1/2인지에 관한 문제로, 소수의 분포와 밀접하게 연결된 수론의 핵심 난제입니다.
- P vs NP 문제 — 다항시간 안에 해답을 검증할 수 있는 문제(NP)의 모든 문제가 다항시간 안에 풀릴 수 있는지(P)에 대한 질문으로, 컴퓨터과학·암호학·알고리즘에 큰 영향을 미칩니다.
- 나비에–스토크스 존재성 및 매끄러움 (Navier–Stokes) — 3차원 비압축성 유체의 나비에–스토크스 방정식에 대해 전역적으로 매끄러운 해가 항상 존재하는지(또는 유한시간 특이점이 생기는지)를 묻는 문제입니다.
- 양-밀스 존재성과 질량 간극 (Yang–Mills and Mass Gap) — 수학적으로 엄밀한 양-밀스 이론의 존재를 세우고, 그 이론이 양의 질량 간극(최저 비영(非零) 에너지와 진공 사이의 양의 차이)을 갖는지를 증명하는 문제입니다.
- 버치–스위너턴다이어 추측 (Birch and Swinnerton-Dyer) — 타원곡선의 랭크(유리해의 개수와 관련)가 해당 곡선의 L-함수의 s=1에서의 영점 차수와 어떻게 연결되는지를 묻는 정수론·대수기하학의 난제입니다.
- 호지 추측 (Hodge conjecture) — 복소 사영대수다양체의 호지류(Hodge classes)가 대수적 순환의 유리수 계수 선형결합으로 표현되는지에 관한 문제로, 대수기하학과 해석기하학을 잇는 근본적 질문입니다.
- (비공식적 추가 난제 예) 골드바흐 추측 또는 콜라츠 추측 등 — 밀레니엄 7문제 외에 대중적으로 널리 알려진 난제들 가운데 하나를 8번째로 함께 들기도 합니다. 예: 골드바흐 추측은 모든 짝수가 두 소수의 합으로 표현되는지, 콜라츠 추측은 임의의 자연수가 반복 규칙(짝수면 2로 나누고, 홀수면 3n+1)을 따라 결국 1에 도달하는지 등을 묻습니다.
참고 자료: https://namu.wiki/w/밀레니엄 문제, https://ko.wikipedia.org/wiki/밀레니엄_현상_문제, https://www.jisiklog.com/AIqa/24157