[질문] 그건 무게중심 구하는 공식이잖아. 외심 구하는 공식

외심(外心)은 삼각형의 세 변의 수직 이등분선이 만나는 점으로, 삼각형의 외접원의 중심입니다.
즉, 외심은 삼각형의 각 변을 수직으로 이등분하는 선들이 한 점에서 만나는 교점이며, 이 점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같습니다.

외심 구하는 공식 및 방법

1. 외심의 정의
   삼각형 ABC에서 각 변 AB, BC, CA의 수직 이등분선을 그립니다.
   이 세 수직 이등분선이 만나는 점 O가 외심입니다.

2. 외심 좌표 구하기 (좌표평면상에서)
   삼각형의 세 꼭짓점 좌표가 각각 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) )일 때, 외심 O의 좌표 ( (x, y) )는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

   • AB의 중점: ( M_{AB} = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) )

   • BC의 중점: ( M_{BC} = \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right) )

   • AB의 기울기: ( m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} )

   • BC의 기울기: ( m_{BC} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} )

   • AB의 수직 이등분선 기울기: ( m_{P} = -\frac{1}{m_{AB}} ) (단, ( m_{AB} \neq 0 ))

   • BC의 수직 이등분선 기울기: ( m_{Q} = -\frac{1}{m_{BC}} ) (단, ( m_{BC} \neq 0 ))

   • AB 수직 이등분선 방정식:
     [ y - y_{M_{AB}} = m_P (x - x_{M_{AB}}) ]

   • BC 수직 이등분선 방정식:
     [ y - y_{M_{BC}} = m_Q (x - x_{M_{BC}}) ]

   이 두 직선의 교점을 구하면 외심 ( O(x, y) )를 얻을 수 있습니다.

3. 외심의 성질

   • 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같습니다. 즉,
     [ OA = OB = OC = \text{외접원의 반지름} ]
   • 외심의 위치는 삼각형의 종류에 따라 다릅니다.
     • 예각삼각형: 외심은 삼각형 내부에 위치
     • 직각삼각형: 외심은 빗변의 중점에 위치
     • 둔각삼각형: 외심은 삼각형 외부에 위치

요약

참고 자료

더 자세한 설명과 증명, 활용법은 아래 블로그를 참고하세요.
수알못의 수학블로그 - 삼각형의 외심과 내심 개념정리

필요하면 외심 좌표 구하는 예제도 알려드릴 수 있으니 말씀해 주세요!