[질문] 약수의 개수가 15개인 가장 작은 자연수

약수의 개수가 15개인 가장 작은 자연수를 찾기 위해서는 약수의 개수를 구하는 공식을 활용해야 합니다. 자연수 ( n )의 소인수분해가 다음과 같다고 가정합시다:

[ n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \ldots \times p_k^{e_k} ]

여기서 ( p_i )는 소수, ( e_i )는 해당 소수의 지수입니다. 이때 ( n )의 약수의 개수는 다음과 같이 계산됩니다:

[ d(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1) \ldots (e_k + 1) ]

약수의 개수가 15개라는 것은 ( d(n) = 15 )라는 의미입니다. 15는 다음과 같은 조합으로 표현할 수 있습니다:

1. ( 15 = 15 ) (즉, ( e_1 = 14 ))

2. ( 15 = 3 \times 5 ) (즉, ( e_1 = 2, e_2 = 4 ))

3. ( 15 = 5 \times 3 ) (즉, ( e_1 = 4, e_2 = 2 )) 이 조합을 통해 가능한 소인수의 조합을 찾아보겠습니다.

4. 첫 번째 경우: ( n = p_1^{14} )

   • 가장 작은 소수 ( p_1 = 2 )일 때, ( n = 2^{14} = 16384 )

5. 두 번째 경우: ( n = p_1^2 \times p_2^4 )

   • 가장 작은 소수 ( p_1 = 2, p_2 = 3 )일 때, ( n = 2^2 \times 3^4 = 4 \times 81 = 324 )

6. 세 번째 경우: ( n = p_1^4 \times p_2^2 )

   • 가장 작은 소수 ( p_1 = 2, p_2 = 3 )일 때, ( n = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144 )

이 세 가지 경우를 비교해보면, 약수의 개수가 15개인 가장 작은 자연수는 ( 144 )입니다.

따라서, 약수의 개수가 15개인 가장 작은 자연수는 144입니다.

참고 자료:

• 지식로그