주어진 조건을 만족하는 분수의 나눗셈식을 찾기 위해, 다음과 같은 조건을 고려해야 합니다:
- 7 ÷ 9를 이용하여 계산할 수 있어야 한다.
- 분모가 12보다 작은 진분수의 나눗셈이어야 한다.
- 두 분수의 분모는 같아야 한다.
먼저, 7 ÷ 9는 7/9로 표현할 수 있습니다. 이 분수를 이용하여 나눗셈식을 만들기 위해, 두 분수의 형태를 다음과 같이 설정할 수 있습니다:
[
\frac{a}{b} \div \frac{c}{b}
]
여기서 ( b )는 12보다 작은 자연수이고, ( a )와 ( c )는 ( b )보다 작은 자연수여야 합니다.
이제 ( \frac{a}{b} \div \frac{c}{b} )는 다음과 같이 변환할 수 있습니다:
[
\frac{a}{b} \div \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac{a}{c}
]
이제 ( \frac{a}{c} )가 7/9와 같아야 하므로, 다음과 같은 비례식을 세울 수 있습니다:
[
\frac{a}{c} = \frac{7}{9}
]
이로부터 ( 9a = 7c )가 성립합니다. ( b )는 12보다 작은 자연수이므로 ( b = 1, 2, 3, \ldots, 11 ) 중에서 선택할 수 있습니다.
이제 ( a )와 ( c )의 값을 찾기 위해 ( 9a = 7c )를 만족하는 ( a )와 ( c )의 조합을 찾아보겠습니다. ( a )와 ( c )는 모두 자연수여야 하므로, ( c )를 9의 배수로 설정하면 ( a )도 자연수가 됩니다.
- ( c = 9 )일 때: ( 9a = 7 \times 9 ) → ( a = 7 ) (가능)
- ( c = 7 )일 때: ( 9a = 7 \times 7 ) → ( a = \frac{49}{9} ) (불가능)
- ( c = 6 )일 때: ( 9a = 7 \times 6 ) → ( a = \frac{42}{9} ) (불가능)
- ( c = 5 )일 때: ( 9a = 7 \times 5 ) → ( a = \frac{35}{9} ) (불가능)
- ( c = 4 )일 때: ( 9a = 7 \times 4 ) → ( a = \frac{28}{9} ) (불가능)
- ( c = 3 )일 때: ( 9a = 7 \times 3 ) → ( a = \frac{21}{9} ) (불가능)
- ( c = 2 )일 때: ( 9a = 7 \times 2 ) → ( a = \frac{14}{9} ) (불가능)
- ( c = 1 )일 때: ( 9a = 7 \times 1 ) → ( a = \frac{7}{9} ) (불가능)
이 경우, ( c )가 9일 때만 ( a )가 자연수가 됩니다. 따라서, ( b )는 1부터 11까지의 값 중에서 선택할 수 있습니다.
결론적으로, 가능한 나눗셈식은 다음과 같습니다:
[
\frac{7}{b} \div \frac{9}{b} \quad (b = 1, 2, \ldots, 11)
]
따라서, 가능한 나눗셈식은 다음과 같습니다:
- ( 7 \div 9 )
- ( \frac{7}{2} \div \frac{9}{2} )
- ( \frac{7}{3} \div \frac{9}{3} )
- ( \frac{7}{4} \div \frac{9}{4} )
- ( \frac{7}{5} \div \frac{9}{5} )
- ( \frac{7}{6} \div \frac{9}{6} )
- ( \frac{7}{7} \div \frac{9}{7} )
- ( \frac{7}{8} \div \frac{9}{8} )
- ( \frac{7}{9} \div \frac{9}{9} )
- ( \frac{7}{10} \div \frac{9}{10} )
- ( \frac{7}{11} \div \frac{9}{11} )
이와 같이, ( b )의 값에 따라 다양한 나눗셈식을 만들 수 있습니다.