주어진 조건에 따라 이차함수의 그래프를 그려보겠습니다.
먼저, x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 2이므로, 이차함수의 그래프는 x=2에서 대칭인 형태를 가지게 됩니다.
또한, x축과 만나는 두 점과 꼭짓점을 연결한 삼각형의 넓이가 2루트3이므로, 이 삼각형의 높이는 2루트3/2, 밑변은 2가 됩니다.
따라서, 삼각형의 넓이는 (1/2) * 2 * (2루트3/2) = 루트3이 됩니다.
이제, 이차함수의 일반식인 y=ax^2+bx+c에 주어진 조건을 대입하여 a의 값을 구해보겠습니다.
먼저, x=2에서 이차함수의 값은 0이 되어야 합니다. 따라서, y=a(2)^2+b(2)+c=0이 됩니다.
또한, 이차함수의 꼭짓점은 x=2에서 대칭인 점이므로, 꼭짓점의 x좌표는 2가 되어야 합니다. 따라서, 꼭짓점의 y좌표는 y=a(2)^2+b(2)+c=a(4)+2b+c가 됩니다.
마지막으로, 삼각형의 높이가 2루트3/2이므로, 꼭짓점의 y좌표에서 x축까지의 거리는 2루트3/2가 되어야 합니다. 따라서, 2루트3/2 = a(4)+2b+c가 됩니다.
이제 위의 두 식을 풀어서 a의 값을 구해보겠습니다.
a(4)+2b+c = -a(4)-2b-c 2a(4) = -2c a = -c/4
여기서 주어진 조건인 a>0을 만족시키기 위해서는 c<0이어야 합니다.
따라서, 상수 a의 값은 -c/4이며, c<0입니다.